Aaahja! Das war mir bisher nicht bekannt. Dann wäre das Rätsel also nicht in der normalen Rätsel-Sektion, sondern nur hier verlinkt?
Ich habe noch haufenweise solcher Rätsel auf Tasche, wobei leider die wenigsten mit Bildern, Zeichnungen oder so zu tun haben. Ich schau erstmal nach dem Fotohome-Ordner ...
Bis gleich, Marx.
Genau: "Uff"! Die Sache ist gar nicht so einfach, wie man zuerst vielleicht meint, was?
Schade eigentlich, daß hier niemand anderes mehr dabei ist. Aber immerhin scheinen sich doch einige Leute (zumindest teilweise) für unsere mathematischen Ergüsse zu interessieren: 174 Klicks.
Ja, ansonsten ist Dein Beweis so schon okay, denke ich: Meinen Glückwunsch!
Ich würde ja gern ein nächstes Rätsel einstellen, meine verfügbaren Uploads sind allerdings arg geschrumpft. Daher reiche ich die diese Aufgabe mal weiter - hast Du eins?
Gruß, Marx.
P.S.: So tolle Hauptpreise wie Günter Kuhn und andere sie haben, kann ich bisher leider noch nicht vergeben. Kommt vielleicht auch bald mal.
Ja, natürlich kann der Schnitt auch durch zwei senkrechte Kanten gehen. Du hattest um 20:33 allerdings geschrieben, daß der Schnitt NUR durch 0 ODER 2 Kanten gehen kann. Ich habe lediglich ergänzt, daß er auch durch 1 Kante verlaufen kann.
@ Mara: Noch nicht ganz - einen Fall hast Du ausgelassen.
Geht der Schnitt durch eine Ecke und eine Kante an der oberen Seite, kann er auch durch nur eine senkrechte Kante gehen.
Aber sonst ist die Aufstellung wohl schon ganz gut. Ich prüfe das nochmal.
@ Mara: Du rechnest das Problem in Excel? Mit Zeichnungen? Ich weiß nicht, ob das Rechenprogramm an sich eine große Hilfe ist, wichtig sind auf jeden Fall räumliche Darstellungen und Vorstellungskraft.
Viel Erfolg erstmal, Marx.
Ich führe hier nun mal den Beweis, daß es eine Erhöhung der Eckenzahl um 11 nicht gibt:
Lemma 1:
Ohne Beschränkung der Allgemeinheit läßt sich die Anzahl der durch die Zerlegung neu entstehenden Ecken mit
k = Anzahl der geschnittenen Kanten
e = Anzahl der geschnittenen Ecken
E = Anzahl der neuen Ecken
wie folgt formulieren:
E = 2k + e
Lemma 2:
Ein Schnitt, welcher zu einer Erhöhung um E=11 führte, müßte durch mindestens eine Würfelecke (aber stets durch eine ungerade Zahl von Würfelecken) geführt werden, da elf ungerade ist und die obige Gleichung nur für ein ugerades e ein ungerades Ergbenis E liefert.
Annahme 1:
Der Schnitt verlaufe durch genau eine Würfelecke - an dieser Würfelecke treffen drei Würfelflächen zusammen. Die Schnittebene kann höchstens zwei dieser Würfelflächen schneiden. Würde sie auch die dritte Begrenzungsebene des Würfels schneiden, läge
die Schnittebene in dieser und der Würfel würde nicht zerlegt. Nun bleiben noch drei Würfelflächen übrig, die von der einem ebenen Schnitt getroffen werden können. Damit kann die Schnittfläche aber höchstens ein Fünfeck sein. Da eine der Ecken des Fünfecks laut Annahme 1 in einer Würfelecke liegt, können höchstens vier Würfelkanten geschnitten werden, und die Eckenzahl erhöht sich um maximal um neun.
Annahme 2:
Der Schnitt verlaufe durch drei Würfelecken (e=3). Um die Gleichung E = 2k + 3=11 zu erfüllen, müßte die Schnittebene offensichtlich durch vier Kanten verlaufen.
Solch ein Schnitt ist nicht eben! Oder anders gesagt: Durch die drei Eckpunkte ist die Schnittebene festgelegt, sie kann höchstens noch durch eine weitere Ecken (=> e=4, k=0) oder aber durch keine Ecke und keine Kante (=> e =3, k=0) verlaufen. Im ersten Fall ist die Anzahl der geschnittenen Ecken gerade, was Lemma 2 widerspricht. Im zweiten Fall erhöht sich die Anzahl der Ecken nur um drei.
Annahme 3:
Der Schnitt verlaufe durch fünf Ecken (e=5). Aus der Gleichung aus Lemma 1 ergäbe sich die Anzahl der geschnittenen Kanten zu k=3. Solch ein Schnitt ist nicht eben. Mit der gleichen Begründung können auch sieben Ecken nicht geschnitten werden.
Schluß:
Es können also nicht mehr als drei Ecken geschnitten werden, solange E ungerade sein soll (generell können höchstens vier Ecken geschnitten werden).
Somit ist eine ebene Schnittführung, die den Würfel in zwei Teilkörper zerlegt, welche zusammen 11 Ecken mehr haben als der Würfel selbst, nicht möglich, q.e.d.
Also, weiter geht's ... schön, daß Du noch dabei bist, Mara. Das nenne ich Einsatz!
Ich handle Deine Aussagen mal der Reihe nach von oben nach unten ab:
Zu 1. Nein - der Schnitt kann auch so geführt werden, daß er
a) 1 Kante und 1 Ecke
b) 2 Ecken
schneidet.
Zu 2. Korrekt - mehr als 3 senkrechte Kanten können nicht geschnitten werden, wenn der Schnitt auch die obere Fläche schneiden soll.
Zu 3. Nein: Je nachdem, wie der Schnitt oben (unter 1.) begonnen wurde, können in der unteren Fläche auch
a) 1 Ecke und 1 Kante
b) 2 Ecken
geschnitten werden.
Zu 4. Kann mal wohl so stehen lassen.
Da 1. und 2. jedoch nicht hinreichend sind, ist der Beweis damit auch nicht vollständig.
Bravo, das ist doch schon ein guter Anfang, Mara!
Aber wer sagt denn, daß der Schnitt nicht auch durch drei Würfelecken und vier Kanten verlaufen könnte? Oder durch fünf Ecken und drei Kanten? Ich denke, den (nicht möglichen) Schnitt durch zehn Ecken und eine Kante brauchen wir nicht zu behandeln - das ist trivial.
Am einfachsten läßt sich der Sachverhalt folgendermaßen handhaben:
k = Anzahl der geschnittenen Kanten
e = Anzahl der geschnittenen Ecken
E = Anzahl der neu entstandenen Ecken
Mit diesen Platzhaltern läßt sich eine Einfache Gleichung aufstellen, anhand derer sich alle für diese Aufgabe notwendigen Beweise leicht führen lassen.
Und wie sieht es eigentlich mit den bisher nur durch Probieren gefundenen Minima (3 Ecken) und Maxima (12 Ecken) der Eckenzahldifferenz aus - kann die auch einer beweisen?
Gruß, Marx.
P.S.: Hier noch zwei Bildchen zur Erhöhung um sechs Ecken:
Schon erstaunlich, wieviel Zulauf (101 Klicks in einer Stunde) so ein kleines Rechenrätsel bringt - das finde ich sehr erfreulich. Ich bin also nicht der einzige, der sowas mag.
Da ich zum Billard verabredet bin, werde ich die Diskussion leider bald verlassen müssen, aber Ihr könnt ja trotzdem über den Beweis, daß elf Ecken nicht möglich sind, grübeln. :o)
@ Scotty: Nein, es ging MIR immer um die Differenz der Eckenzahlen und seit 19:49 hat auch Mara nur so gerechnet. Zur Verdeutlichung: Ich habe die neuen Ecken in den Schnitten grün und die alten Ecken blau dargestellt.
Kalle Marx 27/11/2007 21:32
Aaahja! Das war mir bisher nicht bekannt. Dann wäre das Rätsel also nicht in der normalen Rätsel-Sektion, sondern nur hier verlinkt?Ich habe noch haufenweise solcher Rätsel auf Tasche, wobei leider die wenigsten mit Bildern, Zeichnungen oder so zu tun haben. Ich schau erstmal nach dem Fotohome-Ordner ...
Bis gleich, Marx.
Kalle Marx 27/11/2007 21:27
Das wäre dann also ein "privates Photo" in "Foto-Homepage", richtig?Kalle Marx 27/11/2007 21:24
Moment mal: Heißt daß, wenn ich das Bild nicht öffentlich freigebe und dann hier mit der Photo-Nummer verlinke, verbraucht es keinen Upload?Kalle Marx 27/11/2007 21:10
Sicher bin ich noch da.Kalle Marx 27/11/2007 21:09
Genau: "Uff"! Die Sache ist gar nicht so einfach, wie man zuerst vielleicht meint, was?Schade eigentlich, daß hier niemand anderes mehr dabei ist. Aber immerhin scheinen sich doch einige Leute (zumindest teilweise) für unsere mathematischen Ergüsse zu interessieren: 174 Klicks.
Ja, ansonsten ist Dein Beweis so schon okay, denke ich: Meinen Glückwunsch!
Ich würde ja gern ein nächstes Rätsel einstellen, meine verfügbaren Uploads sind allerdings arg geschrumpft. Daher reiche ich die diese Aufgabe mal weiter - hast Du eins?
Gruß, Marx.
P.S.: So tolle Hauptpreise wie Günter Kuhn und andere sie haben, kann ich bisher leider noch nicht vergeben. Kommt vielleicht auch bald mal.
Kalle Marx 27/11/2007 20:44
Ja, natürlich kann der Schnitt auch durch zwei senkrechte Kanten gehen. Du hattest um 20:33 allerdings geschrieben, daß der Schnitt NUR durch 0 ODER 2 Kanten gehen kann. Ich habe lediglich ergänzt, daß er auch durch 1 Kante verlaufen kann.Kalle Marx 27/11/2007 20:38
@ Mara: Noch nicht ganz - einen Fall hast Du ausgelassen.Geht der Schnitt durch eine Ecke und eine Kante an der oberen Seite, kann er auch durch nur eine senkrechte Kante gehen.
Aber sonst ist die Aufstellung wohl schon ganz gut. Ich prüfe das nochmal.
Kalle Marx 27/11/2007 20:34
@ Mara: Du rechnest das Problem in Excel? Mit Zeichnungen? Ich weiß nicht, ob das Rechenprogramm an sich eine große Hilfe ist, wichtig sind auf jeden Fall räumliche Darstellungen und Vorstellungskraft.Viel Erfolg erstmal, Marx.
Kalle Marx 27/11/2007 20:29
Ich führe hier nun mal den Beweis, daß es eine Erhöhung der Eckenzahl um 11 nicht gibt:Lemma 1:
Ohne Beschränkung der Allgemeinheit läßt sich die Anzahl der durch die Zerlegung neu entstehenden Ecken mit
k = Anzahl der geschnittenen Kanten
e = Anzahl der geschnittenen Ecken
E = Anzahl der neuen Ecken
wie folgt formulieren:
E = 2k + e
Lemma 2:
Ein Schnitt, welcher zu einer Erhöhung um E=11 führte, müßte durch mindestens eine Würfelecke (aber stets durch eine ungerade Zahl von Würfelecken) geführt werden, da elf ungerade ist und die obige Gleichung nur für ein ugerades e ein ungerades Ergbenis E liefert.
Annahme 1:
Der Schnitt verlaufe durch genau eine Würfelecke - an dieser Würfelecke treffen drei Würfelflächen zusammen. Die Schnittebene kann höchstens zwei dieser Würfelflächen schneiden. Würde sie auch die dritte Begrenzungsebene des Würfels schneiden, läge
die Schnittebene in dieser und der Würfel würde nicht zerlegt. Nun bleiben noch drei Würfelflächen übrig, die von der einem ebenen Schnitt getroffen werden können. Damit kann die Schnittfläche aber höchstens ein Fünfeck sein. Da eine der Ecken des Fünfecks laut Annahme 1 in einer Würfelecke liegt, können höchstens vier Würfelkanten geschnitten werden, und die Eckenzahl erhöht sich um maximal um neun.
Annahme 2:
Der Schnitt verlaufe durch drei Würfelecken (e=3). Um die Gleichung E = 2k + 3=11 zu erfüllen, müßte die Schnittebene offensichtlich durch vier Kanten verlaufen.
Solch ein Schnitt ist nicht eben! Oder anders gesagt: Durch die drei Eckpunkte ist die Schnittebene festgelegt, sie kann höchstens noch durch eine weitere Ecken (=> e=4, k=0) oder aber durch keine Ecke und keine Kante (=> e =3, k=0) verlaufen. Im ersten Fall ist die Anzahl der geschnittenen Ecken gerade, was Lemma 2 widerspricht. Im zweiten Fall erhöht sich die Anzahl der Ecken nur um drei.
Annahme 3:
Der Schnitt verlaufe durch fünf Ecken (e=5). Aus der Gleichung aus Lemma 1 ergäbe sich die Anzahl der geschnittenen Kanten zu k=3. Solch ein Schnitt ist nicht eben. Mit der gleichen Begründung können auch sieben Ecken nicht geschnitten werden.
Schluß:
Es können also nicht mehr als drei Ecken geschnitten werden, solange E ungerade sein soll (generell können höchstens vier Ecken geschnitten werden).
Somit ist eine ebene Schnittführung, die den Würfel in zwei Teilkörper zerlegt, welche zusammen 11 Ecken mehr haben als der Würfel selbst, nicht möglich, q.e.d.
Kalle Marx 27/11/2007 20:08
Also, weiter geht's ... schön, daß Du noch dabei bist, Mara. Das nenne ich Einsatz!Ich handle Deine Aussagen mal der Reihe nach von oben nach unten ab:
Zu 1. Nein - der Schnitt kann auch so geführt werden, daß er
a) 1 Kante und 1 Ecke
b) 2 Ecken
schneidet.
Zu 2. Korrekt - mehr als 3 senkrechte Kanten können nicht geschnitten werden, wenn der Schnitt auch die obere Fläche schneiden soll.
Zu 3. Nein: Je nachdem, wie der Schnitt oben (unter 1.) begonnen wurde, können in der unteren Fläche auch
a) 1 Ecke und 1 Kante
b) 2 Ecken
geschnitten werden.
Zu 4. Kann mal wohl so stehen lassen.
Da 1. und 2. jedoch nicht hinreichend sind, ist der Beweis damit auch nicht vollständig.
Kalle Marx 27/11/2007 1:17
Bravo, das ist doch schon ein guter Anfang, Mara!Aber wer sagt denn, daß der Schnitt nicht auch durch drei Würfelecken und vier Kanten verlaufen könnte? Oder durch fünf Ecken und drei Kanten? Ich denke, den (nicht möglichen) Schnitt durch zehn Ecken und eine Kante brauchen wir nicht zu behandeln - das ist trivial.
Am einfachsten läßt sich der Sachverhalt folgendermaßen handhaben:
k = Anzahl der geschnittenen Kanten
e = Anzahl der geschnittenen Ecken
E = Anzahl der neu entstandenen Ecken
Mit diesen Platzhaltern läßt sich eine Einfache Gleichung aufstellen, anhand derer sich alle für diese Aufgabe notwendigen Beweise leicht führen lassen.
Und wie sieht es eigentlich mit den bisher nur durch Probieren gefundenen Minima (3 Ecken) und Maxima (12 Ecken) der Eckenzahldifferenz aus - kann die auch einer beweisen?
Gruß, Marx.
P.S.: Hier noch zwei Bildchen zur Erhöhung um sechs Ecken:
Kalle Marx 26/11/2007 20:39
Hat keiner eine Idee? Ich bin dann erstmal weg, später aber wieder da ...Viel Spaß und Erfolg beim Rechnen, Marx.
Kalle Marx 26/11/2007 20:24
@Mara: Ja, ich habe ihn.Kalle Marx 26/11/2007 20:21
Schon erstaunlich, wieviel Zulauf (101 Klicks in einer Stunde) so ein kleines Rechenrätsel bringt - das finde ich sehr erfreulich. Ich bin also nicht der einzige, der sowas mag.Da ich zum Billard verabredet bin, werde ich die Diskussion leider bald verlassen müssen, aber Ihr könnt ja trotzdem über den Beweis, daß elf Ecken nicht möglich sind, grübeln. :o)
Kalle Marx 26/11/2007 20:17
@ Scotty: Nein, es ging MIR immer um die Differenz der Eckenzahlen und seit 19:49 hat auch Mara nur so gerechnet. Zur Verdeutlichung: Ich habe die neuen Ecken in den Schnitten grün und die alten Ecken blau dargestellt.